Условия конкурса (I тур)

1. Рассмотрим последовательность, состоящую из чередующихся цифр 3 и 7. Какова должна быть минимальная длина этой последовательности, чтобы путем расстановки знаков арифметических операций и скобок можно было получить выражение, равное 2014, если

а) последовательность имеет вид 373737…

б) последовательность имеет вид 73737….

Примечание: Числа в выражении могут состоять более чем из одной цифры.

       2. Задан многочлен . Определим следующие многочлены .

      Пусть . Для каждого натурального  укажите хотя бы один положительный корень уравнения .

3. Найдите все действительные решения системы

4. Докажите, что если число  является корнем многочлена , то .

Аналитический блок

1. Докажите неравенство , где – целые числа.

2. Пусть на множестве G задана операция , такая, что для любых элементов a и b из G выполняется равенство . Докажите, что имеет место тождество .

3. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных решений уравнения , что числа x, y, z  попарно простые.

4. Имеется 14 монет, среди которых одна фальшивая (она имеет другой вес). Какое наибольшее количество настоящих монет можно гарантированно определить за два взвешивания на чашечных весах без гирь? По возможности обобщить задачу.

За обобщения задач аналитического блока начисляются дополнительные баллы