ТРЕТИЙ ЗАОЧНЫЙ КОНКУРС УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
Математический блок
1.
Является ли число
рациональным?
2. Докажите, что выпуклый четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
3. Ограниченная фигура на плоскости имеет площадь S>2. Докажите, что её можно параллельно перенести так, чтобы она покрыла не менее 3 точек с целыми координатами.
4. Представьте (если это возможно) каждое из натуральных чисел от 1 до 100 в виде математических выражений, содержащих цифры 2,0,1 и 2 (именно в таком порядке), а также знаки математических операций, знаки радикалов, скобки, знаки факториалов. Можно использовать операцию возведения в степень. Буквы, в том числе и для обозначения функций, использовать запрещено. Все символы, в том числе и различные виды скобок, понимаются так, как это принято в математике. (Оценивается количество чисел, для которых получены правильные представления. Для каждого из чисел оценивается только одно представление).
Аналитический блок
1. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD . Известно, что AB=30, BD=16, AD=20 и BD=BC. Найти DC.
1.1. Приведите два способа решения этой задачи.
1.2. Объясните, почему результаты решения не совпадают.
2.1. Докажите тождество 
.
2.2. Обобщите это тождество.
3. Три игрока А, В и С играли в некоторую игру «на вылет», то есть в каждом розыгрыше двое играют, а третий – ждет, и в следующей партии заменяет проигравшего (ничьих не бывает). В результате игрок А сыграл m розыгрышей, игрок В – n розыгрышей, и игрок С – k розыгрышей.
3.1. Найти (если возможно) k, если m=25, n=12.
3.2. Для произвольных натуральных значений m,n найти все возможные значения k.
4. В книге «Как решают нестандартные задачи» авторов А. Я. Канель-Белова и А. К. Ковальджи на странице 71 приведена задача № 34:
Докажите, что
если n пробегает все
натуральные числа, то 
пробегает все
натуральные значения, кроме точных квадратов.
Покажите, что условие задачи неверно. Исправьте
выражение так, чтобы
утверждение стало верным, и решите задачу в исправленном виде.
Криптографический блок
1. Даны числительные, записанные на некотором языке, и их числовые обозначения в другом порядке:
berrogeita bi, laurogeita hiru, berrogeita hamasei, hirurogeita hamar, hogeita bost, laurogei, hirurogeita hamazortzi, berrogeita lau, hogeita hamazazpi;
80, 56, 44, 78, 37, 42, 25, 83, 70.
1.1. Установите правильные соответствия.
1.2. Запишите на этом языке числа: 14, 53, 30.
1.3. Переведите с этого языка выражения: laurogeita hamabost, hirurogeita lau, hogeita zortzi.
2. Даны числа, записанные по некоторой системе, и их обычные записи:
2.2. Запишите в рассмотренной системе числа:
24, 40, 91, 157, 555
Поясните Ваше решение.
В случае, если решение не доведено до конца, баллы будут начисляться и за рассмотренные частные случаи.
С вопросами по формулировкам задач также можно обратиться по адресу matkonkurs2010@mail.ru