Титульный лист к работе можно скачать по ссылке: Титульный лист, тур I
Тексты задач конкурса появились благодаря утечке информации из СЛИсНП – секретной лаборатории исследований с нанопользой. Просьба соблюдать режим секретности при решении задач.
Если не удалось решить задачу в общем случае, то присылайте решение в частных случаях. За это тоже будут засчитываться баллы.
Математический блок.
1. Сержант автоинспекции Загребушко, который дежурит возле СЛИсНПа, штрафует водителей только тех машин, из номеров которых он, путем расстановки знаков +,-,∙,: и круглых скобок может получить ноль. Номер машины – это набор из четырех цифр (буквы роли не играют). Директор СЛИсНП утверждает, что его не оштрафуют. Укажите минимальный и максимальный номер, который может быть на машине директора.
Пример. Машина с номером 1679 штрафуется, поскольку 16-7-9=0.
2. Сотрудникам СЛИсНПа запретили пользоваться утверждением, что сумма
углов треугольника равна 
. Лаборанту Умникову удалось, при соблюдении этого
ограничения, доказать, что для внутренних углов треугольника имеет место
соотношение
3. Сад при СЛИсНПе представляет собой огороженный забором треугольник АВС, войти в который можно через двое ворот. Одни из ворот находятся в точке А, а другие – в точке D, которая есть основанием биссектрисы АD. Было решено украсить плитками аллею АD. Завхоз поручил лаборанту с фамилией Бестолковый измерить это расстояние. Лаборант пришел и сказал, что часть АBD забора состоит из m метровых секций, а часть ACD забора состоит из n метровых секций. Достаточно ли этой информации для нахождения длины аллеи или завхозу придется поручать это же задание старшему лаборанту СЛИсНПа Дайбутылкину?
4. Для каждой стороны треугольного сада из задачи 3 сотрудники «отдела
развлекательной геометрии» СЛИсНПа ввели понятие «длинушечка» как разность
суммы длин двух других сторон и длины данной стороны. Докажите что произведение
длин сторон сада не меньше произведения «длинушечек» сторон сада.
Аналитический блок.
1. В «отделе деления всего» СЛИсНПа решили поделить все натуральные числа на две категории – зеленые и пушистые. Число называется зеленым, если его можно возвести в две различные натуральные степени, сложить полученные числа, и в результате получить точный квадрат. В противном случае число называется пушистым. Помогите сотрудникам найти все зеленые числа из множества {1; 2;...; 10}.
2. В «отделе повышенного комфорта» СЛИнСПа работает n стеснительных сотрудников. На работу они переодеваются в спортзале (не волнуйтесь, это временные финансовые затруднения). Завхоз закупил n-2 раздвижных плоских экрана. Докажите, что нельзя расставить сотрудников и эти экраны так, чтобы каждый из сотрудников был вне зоны видимости остальных.
Примечание. Поскольку в отделе все сотрудники достаточно стройные, то считайте их точками, а экраны – непересекающимися отрезками.
3. Во время обеда в столовой СЛИнСПа было выставлено два подноса с пирожками. Сотрудники отделов «проблем похудения» и «проблем здорового питания» по очереди подходят к подносам и берут от одного до трех пирожков из одного подноса. Тот из отделов, сотрудник которого забрал последний пирожок, пьет чай за счет другого отдела. Кому придется бежать за чаем, если известно, что на первом подносе n пирожков, а на втором m, и пирожки берут только сотрудники, имеющие ученую степень?
4. На n сотрудников «отдела по
выбиванию премий» СЛИнСПА была выделена премия в m тысяч. Сколько
существует способов распределить эту премию между сотрудниками так, чтобы
каждый получил не менее k тысяч и не более s тысяч?
Примечание. Премия каждому из сотрудников – целое число тысяч.