Управление образования и науки Запорожской облгосадминистрации
Запорожский областной институт последипломного педагогического образования
ІI этап 52 Всеукраинской олимпиады по математике 2011-2012 г.
6 класс
Запорожский областной институт последипломного педагогического образования
ІI этап 52 Всеукраинской олимпиады по математике 2011-2012 г.
6 класс
1. Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?
2. Фирма купила на распродаже автомобиль на 35% ниже начальной цены, а продала - на 25% ниже начальной цены. Сколько процентов прибыли она получила, то есть, сколько процентов составляет прибыль от затраченных денег?
3. Найдите все четырехзначные числа, которые после отбрасывания первой цифры уменьшаются в 19 раз.
4. Докажите, что число вида
не может содержать одинаковое количество каждой из цифр 1, 2, …, 9.
5. Можно ли числа 1, 2, …, 9 записать в виде таблицы так, чтобы сумма любых двух соседних чисел (по вертикали и по горизонтали) была простым числом?
2. Фирма купила на распродаже автомобиль на 35% ниже начальной цены, а продала - на 25% ниже начальной цены. Сколько процентов прибыли она получила, то есть, сколько процентов составляет прибыль от затраченных денег?
3. Найдите все четырехзначные числа, которые после отбрасывания первой цифры уменьшаются в 19 раз.
4. Докажите, что число вида
не может содержать одинаковое количество каждой из цифр 1, 2, …, 9.5. Можно ли числа 1, 2, …, 9 записать в виде таблицы так, чтобы сумма любых двух соседних чисел (по вертикали и по горизонтали) была простым числом?
7 класс
1. Пусть m и n - целые числа. Если сложить их сумму, разность, произведение и частное, получится 150. Найдите m и n.
2. Ваня считает, что дроби «сокращают», зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Андрей заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например
. Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так «сократить».
3. В коробке лежат 57 конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое число конфет, соблюдая два правила: правило вежливости - нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник; правило честности - первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Победившим считается тот, кто возьмет последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?
4. Найдите все двузначные числа, равные произведению своих цифр, увеличенных на 2.
5. Найдите цифры x и y, если
.
рациональны. Являются ли числа 
и 
рациональными?
2. Дано три числа: x, 1-y, y-x . Пусть S - наименьшее из этих чисел. Какое наибольшее значение может принимать S?
3. Можно ли представить число 2012 в виде суммы трехзначного числа и куба суммы цифр этого числа?
4. В коробке лежат 1001 конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое число конфет, соблюдая два правила: правило вежливости - нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник; правило честности - первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Победившим считается тот, кто возьмет последнюю конфету. При какой стратегии выиграет первый игрок?
5. Найдите цифры x и y, если .
2. В коробке лежат 50 конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое число конфет, соблюдая два правила: правило вежливости - нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник; правило честности - первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Победившим считается тот, кто возьмет последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?
3. Коэффициенты p и q квадратного уравнения
увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, чтобы у каждого из пяти полученных уравнений корни были целыми числами.
4. Дан параллелограмм АВСД. Рассмотрим новый параллелограмм, у которого одна вершина совпадает с вершиной В, соседняя с ней вершина М лежит на стороне АД, а сторона КР, противоположная стороне ВМ, лежит на прямой, проходящей через вершину С. Докажите, что параллелограммы АВСД и ВКРМ равновелики.
5. Найдите два последовательных трехзначных числа, равных кубу суммы своих цифр.
конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое число конфет, соблюдая два правила: правило вежливости - нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник; правило честности - первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Победившим считается тот, кто возьмет последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?
2. Известно, что корни уравнения - целые числа, а коэффициенты p и q - простые числа. Найдите p и q.
3. Найдите все пары целых чисел x, y, удовлетворяющих уравнению
.
4. Докажите, что если числа 3n+1 и 4n+1 являются точными квадратами, то n делится на 8.
5. Дана окружность ω и точки P и К вне её. Через точку Р проведена секущая к окружности ω, пересекающая её в точках А и В. Докажите, что положение второй точки пересечения прямой РК с окружностью γ, проходящей через точки К, А, В, не зависит от выбора секущей АВ.
коэффициенты p и q - целые числа. Неравенство выполнено при всех целых значениях х. Докажите, что оно выполнено при всех действительных значениях х.
2. В первом ящике 68 шаров, а во втором - 97. Двое играющих поочередно берут шары, причем за один ход игрок может взять из любого (но только одного) ящика произвольное количество имеющихся в нем шаров. Выигрывает тот, кто возьмет последние шары. Кто выиграет при правильной игре - начинающий или его партнер - и как для этого надо играть?
3. Какое из чисел больше:
или 
?
4. Найдите наибольшее натуральное число n, для которого существует двузначное число, равное произведению своих цифр, увеличенных на n.
5. Докажите, что если на продолжении основания
равнобедренного треугольника 
взять произвольную точку 
, то 
.
2. Ваня считает, что дроби «сокращают», зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Андрей заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например
. Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так «сократить».3. В коробке лежат 57 конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое число конфет, соблюдая два правила: правило вежливости - нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник; правило честности - первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Победившим считается тот, кто возьмет последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?
4. Найдите все двузначные числа, равные произведению своих цифр, увеличенных на 2.
5. Найдите цифры x и y, если
.8 класс
1. Известно, что числа рациональны. Являются ли числа и рациональными?2. Дано три числа: x, 1-y, y-x . Пусть S - наименьшее из этих чисел. Какое наибольшее значение может принимать S?
3. Можно ли представить число 2012 в виде суммы трехзначного числа и куба суммы цифр этого числа?
4. В коробке лежат 1001 конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое число конфет, соблюдая два правила: правило вежливости - нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник; правило честности - первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Победившим считается тот, кто возьмет последнюю конфету. При какой стратегии выиграет первый игрок?
5. Найдите цифры x и y, если
. 9 класс
1. Покажите, что произведение чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, является числом, представимым в виде суммы двух квадратов.2. В коробке лежат 50 конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое число конфет, соблюдая два правила: правило вежливости - нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник; правило честности - первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Победившим считается тот, кто возьмет последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?
3. Коэффициенты p и q квадратного уравнения
увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, чтобы у каждого из пяти полученных уравнений корни были целыми числами.4. Дан параллелограмм АВСД. Рассмотрим новый параллелограмм, у которого одна вершина совпадает с вершиной В, соседняя с ней вершина М лежит на стороне АД, а сторона КР, противоположная стороне ВМ, лежит на прямой, проходящей через вершину С. Докажите, что параллелограммы АВСД и ВКРМ равновелики.
5. Найдите два последовательных трехзначных числа, равных кубу суммы своих цифр.
10 класс
1. В коробке конфет. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может взять себе любое число конфет, соблюдая два правила: правило вежливости - нельзя брать конфет больше, чем только что взял противник; правило честности - первым ходом нельзя брать сразу все конфеты. Победившим считается тот, кто возьмет последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?2. Известно, что корни уравнения
- целые числа, а коэффициенты p и q - простые числа. Найдите p и q.3. Найдите все пары целых чисел x, y, удовлетворяющих уравнению
.4. Докажите, что если числа 3n+1 и 4n+1 являются точными квадратами, то n делится на 8.
5. Дана окружность ω и точки P и К вне её. Через точку Р проведена секущая к окружности ω, пересекающая её в точках А и В. Докажите, что положение второй точки пересечения прямой РК с окружностью γ, проходящей через точки К, А, В, не зависит от выбора секущей АВ.
11 класс
1. В неравенстве коэффициенты p и q - целые числа. Неравенство выполнено при всех целых значениях х. Докажите, что оно выполнено при всех действительных значениях х.2. В первом ящике 68 шаров, а во втором - 97. Двое играющих поочередно берут шары, причем за один ход игрок может взять из любого (но только одного) ящика произвольное количество имеющихся в нем шаров. Выигрывает тот, кто возьмет последние шары. Кто выиграет при правильной игре - начинающий или его партнер - и как для этого надо играть?
3. Какое из чисел больше:
или ?4. Найдите наибольшее натуральное число n, для которого существует двузначное число, равное произведению своих цифр, увеличенных на n.
5. Докажите, что если на продолжении основания
равнобедренного треугольника взять произвольную точку , то .