А1

В контрольной работе на МАН в 2014 году в 10 классе была следующая задача: Друзі пішли на річку ловити рибу. Іван піймав три рибини, а Сашко – дві. З усієї риби вони зварили юшку, яку з’їли разом з грибником, що вийшов з лісу. Всім дісталось порівну. Грибник за це дав друзям 5 грибів. Як треба справедливо поділити гриби між друзями?. Найдите все значения количества рыб у Ивана и Саши, при котором задача имеет «красивое» целочисленное решение, при условии, что число грибов равно числу рыб.

Решение

Пусть у Ивана было  рыб, а у Саши – . Тогда Иван фактически отдал грибнику  рыбины, а Саша отдал  рыбин. По условию должно существовать такое число , что , и .

Из выписанных соотношений находим, что , .

, .

Пусть, для определенности, , тогда задача будет «красивой» тогда и только тогда, когда . Ивану достанется  грибов, а Саше достанется  грибов.

 

А2 В компьютерном классе 15 компьютеров. Хулиган с вероятностью 80% испортил один из них, и с вероятностью 20% ни сделал ничего. После проверки четырнадцати компьютеров выяснилось, что они целые. Какова вероятность, что и оставшийся непроверенным компьютер целый? Хватает ли данных для решения этой задачи?

Решение. Обозначим через А событие, что хулиган испортил один из четырнадцати компьютеров, которые будут проверены, через В – испортил оставшийся 15-й компьютер, а через С событие, что он ничего не сделал.

Обозначим , тогда  и , где . События  образуют полную группу попарно несовместных событий. Нам нужно найти условную вероятность  события С при условии, что событие А не произошло. Поскольку , то, использовав тождество , вычислим .

При  получаем, что искомая вероятность может принимать значения от 0.2 до 1.

Если же считать, что вероятность испортить все компьютеры одинакова, то , и искомая вероятность равна .

Таким образом, в задаче данных не хватает, если не принимать интуитивного утверждения, что вероятность испортить все компьютеры одинакова.

А3