2010-2011 уч.год

Управление образования и науки Запорожской облгосадминистрации

Запорожский областной институт последипломного педагогического образования

ІI этап 51 Всеукраинской олимпиады по математике 2010-2011 г.

6 класс

2. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал второму. Потом второй проиграл половину своих монет и отдал первому. Потом снова первый проиграл половину своих монет и отдал их второму. В результате у первого оказалось 19 монет, а у второго 43. Сколько монет было у каждого пирата до игры?

3. На крыльце дома сидят мальчик и девочка. Женя говорит: «Я - мальчик». Саша говорит: «А я - девочка». Известно, что, по крайней мере, один из детей говорит неправду. Кто же из них мальчик, а кто - девочка?

4. Расставьте скобки в выражении 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 = 0 так, чтобы получилось верное равенство.

3. За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на рубль. Сколько стоит один бублик?

4. Электрический провод длиной 25 м был перерезан где-то в одном месте. Электрик утверждает, что в любом случае из двух образовавшихся кусков провода можно вырезать 5 кусков длиной 1, 2, 3, 6 и 12 м. Прав ли электрик?

5. Разрежьте квадрат на рисунке на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало по одному заштрихованному квадратику.

                                                                                 8 класс

1. На доске записаны числа 14 и 19. К уже записанным на доске числам разрешается дописать число, равное сумме любых двух из уже записанных. Можно ли, повторяя эту операцию, получить на доске число 2012?

2. Если к некоторому трехзначному числу приписать слева 5, то получится точный квадрат. Если к этому же числу приписать справа 1, то также получится полный квадрат. Найти это число.

3. Разрежьте квадрат на рисунке на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало по одному заштрихованному квадратику.

 4. Какой вес должна иметь каждая из трех гирь для того, чтобы с их помощью можно было бы взвесить любое целое число килограммов от 1 кг до 10 кг на чашечных весах (гири можно ставить на обе чашки). Обоснуйте свой ответ.

5. В клетках квадратной таблицы 10х10 произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Пусть S₁ , S₂ , ..., S₁₀  – суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли оказаться так, что среди чисел S₁ , ..., S₁₀ любые два соседних числа различаются ровно на 1?

9 класс

1. Из горячего крана ванна наполняется за 23 минуты, из холодного - за 17 минут. Катя открыла горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы горячей воды к моменту наполнения ванны налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

3. В хороводе по кругу стоят 30 детей. Правый сосед каждой девочки – мальчик. У половины мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у всех остальных мальчиков справа стоит девочка. Сколько мальчиков и девочек в хороводе?

4. Куб с ребром 1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью. Обязательно ли все эти квадраты равны между собой?

5. В клетках квадратной таблицы 10х10 произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Пусть S₁ , S₂ , ..., S₁₀  – суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли оказаться так, что среди чисел S₁ , ..., S₁₀ любые два соседних числа различаются ровно на 1?

1. Рассматриваются квадратичные функции вида , у которых . Докажите, что их графики проходят через одну точку.

2. Докажите, что если для натуральных чисел m и с справедливо равенство , то число m можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

3. У фальшивомонетчика есть 40 внешне одинаковых монет, среди которых 2 фальшивые – они легче, чем остальные, и весят одинаково. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 20 настоящих монет?

4. Пусть . Докажите неравенство .

5. Найдите угол при вершине С остроугольного треугольника АВС, если известно, что отрезок HN, соединяющий основания высот AH и BN, пересекает биссектрису угла при вершине С в ее середине.

 11 класс

1. На рисунке изображены графики трех квадратичных трехчленов.

Могут ли это быть трехчлены

3. По дороге едут автомобили: на запад - "Москвич" и "Жигули" с равными между собой скоростями, а на восток - "Мерседес" и "БМВ" с равными между собой скоростями. "Москвич" встретился с "БМВ" в 12-00, "Жигули" с "БМВ" в 15-00, "Москвич" и "Мерседес" - в 14-00. Когда встретились "Жигули" и "Мерседес"?

4. Существует ли выпуклый 2000-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов?
5. Решите уравнение ?