2012-2013 уч. год

Управление образования и науки Запорожской облгосадминистрации

Запорожский областной институт последипломного педагогического образования

ІI этап 53 Всеукраинской олимпиады по математике 2012-2013 г.

6 класс

1. Как от куска веревки длиной 2/3 метра отрезать полметра, не имея измерительных инструментов?

2. Найти дробь, равную 11/20, разность знаменателя и числителя которой равна 99.

3. Может ли произведение цифр целого числа равняться 2012?

4. Есть пять комнат и пять мальчиков, каждый из которых находится в одной из комнат. На каждой комнате висит табличка «В этой комнате находится ровно один мальчик». Известно, что на только двух табличках написана правда. Докажите, что есть комната, в которой находится 3 мальчика.

5. Десять друзей зашли пообедать в трактир. У первого было 5 фенечек (местная денежная единица) одной монетой, у второго – 10 фенечек одной монетой и так далее. У десятого было 50 фенечек одной монетой. Выяснилось, что каждый из них должен за обед отдать хозяину трактира по 5 фенечек. Можно ли им расплатиться так, что бы никто никому ничего не был должен, если у хозяина трактира нет сдачи?

7 класс

1. Можно ли число 20 записать в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых тоже равно 20?

2. Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать еще 2 подъезда и добавить еще 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей, и на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.)?

3. Есть десять комнат и десять мальчиков, каждый из которых находится в одной из комнат. На каждой комнате висит табличка «В этой комнате находится ровно один мальчик». Известно, что только на 7 табличках написана правда. Докажите, что есть комната, в которой находится 3 мальчика.

4. Вася закрасил в квадратике 6 на 6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2 на 2 одинаковое количество закрашенных клеток и во всех полосках 1 на 3 тоже одинаковое количество закрашенных клеток. Докажите, что Вася закрасил все клетки.

5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на метр, отчего его площадь увеличилась на 10 квадратных метров. Найти периметр исходного прямоугольника.

1. Вася закрасил в квадратике 6 на 6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2 на 2 одинаковое количество закрашенных клеток и во всех полосках 1 на 3 тоже одинаковое количество клеток. Сколько клеток осталось не закрашенными?

2. Найти все прямоугольники, у которых стороны выражены натуральными числами, а периметр численно равен площади.

3. Два путника вышли в путь одновременно. Один шел из А в Б, а второй из Б в А. Оба шли равномерно, но с разными скоростями. В момент встречи первому оставалось идти еще 16 часов, а второму 9 часов. Через сколько часов после старта они встретились?

4. Два натуральных числа в сумме дают 2011, а при делении большего из них на меньшее с остатком частное равно 26. Найти все пары таких чисел.

5. Длинную нитку сложили вдвое, еще раз вдвое и еще раз вдвое. Получившуюся толстую «нитку» разрезали на две части и разобрали на тонкие ниточки. Оказалось, что две из этих ниточек имеют длины 4 см и 9 см. Какова наибольшая возможная длина исходной нитки?

9 класс

1. На доске записано пять натуральных двузначных чисел. Чебурашка может прибавить ко всем числам одновременно либо по 1, либо по 2. Крокодил Гена может стереть число, которое делится на 13 или сумма цифр которого делится на 7 (если конечно, такое число есть на доске). Докажите, что Гена может добиться того, что бы через некоторое время доска опустела.

2. Доказать, что среди целых чисел вида 2p+1, где p - простое число, только одно является точным кубом.

3. Описанным кругом плоской фигуры называется наименьший из содержащих ее кругов, а вписанным – наибольший из содержащихся в ней кругов. Может ли ограниченная фигура иметь два различных

а) описанных        

б) вписанных

круга?

4. Два натуральных числа в сумме дают 2011, а при делении большего из них на меньшее с остатком частное равно 26. Найти все пары таких чисел.

5. Сумма неотрицательных чисел a, b, c и d равна 1. Доказать, что тогда

10 класс

1. Найти все простые числа p и q такие, что корни уравнения  целые.

2. Площадь треугольника равна четверти суммы квадратов двух его сторон. Найти угол между этими сторонами.

3. Какое наименьшее положительное число можно получить путем расстановки между числами 1; 2; 3; ... 2014; 2015 знаков плюс и минус и выполнения этих операций?

4. Каждый из углов девятнадцатиугольника кратен 10°. Докажите, что у него найдутся две параллельные стороны.

5. Найдите

а) две

б) три

11 класс

1. Найдите

а) две

б) три 

последние цифры числа

2. Докажите, что число 2013 не является разностью кубов двух натуральных чисел.

3. Пусть h есть высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, а r – радиус вписанной в этот треугольник окружности. Найти первую цифру после запятой в десятичной записи отношения r/h.

4. На горизонтальной плоскости лежат 4 шара радиуса R, а их центры образуют квадрат со стороной 2R. Сверху в лунку, образованную этими шарами, положили пятый шар такого же радиуса. Найти расстояние от его высшей точки до плоскости.

5. Решить в положительных числах систему