М1 Докажите, что при  имеют место неравенства

а)

б)

Обобщите этот результат.

Решение. Рассмотрим функцию . Поскольку  при , то функция  выгнута вверх на этом интервале. Следовательно, при имеет место неравенство , где , .

Полагая  и вспоминая, что , получаем случай а). Полагая  и вспоминая, что , получаем случай б).

 

Обобщением неравенств есть неравенство

, где , .

М2 . Найдите такую функцию двух переменных , что для любых действительных x,y  имеет место равенство , или докажите, что ее не существует

Решение. Пример такой функции:  (проверяется непосредственной подстановкой). Подойдет и любая другая функция вида .

В общем случае преобразование  задает поворот на 45⁰ плоскости OXY вокруг начала координат. Следовательно, решением поставленной задачи есть любая функция , такая, что поверхность, заданная этой функцией, переходит в себя при повороте вокруг оси OZ на 45⁰.

В качестве более экзотического примера укажем функцию , которая в полярных координатах задается формулой .

 

Примечание. За указание функции  или  – 5баллов

+1 балл за указание класса функций вида .

+1 балл за указание общего решения, связанного с поворотом.

 

М3 Васе задали следующую задачу, которая заведомо имеет решение. Все натуральные числа от четырех до двадцати …(звонок телефона) нужно разделить на несколько групп, причем в каждой группе максимальное число равно сумме остальных. Из-за звонка телефона Вася не услышал последнюю цифру, но он знает, что она нечетная. Какую цифру Вася не услышал?

Примечание. Само разделение чисел на группы указывать не требуется!

Решение. Пусть берутся числа от 4 до n, где n есть одно из чисел 21,23,25,27 или 29. Предположим, что указанное разбиение существует, тогда в каждой группе сумма чисел четна, а, значит, число 4+5+...+n=(n+4)(n-3)/2  четно как сумма сумм чисел во всех группах. Из рассмотренных выше чисел подходят только числа 23 и 27.

Покажем, что число 23 не подходит. Поскольку в каждой группе минимум три числа, а всего чисел 20, то количество групп не превосходит 6. Если у нас действительно 6 групп, то сумма старших чисел в этих группах должна равняться сумме всех остальных, и, следовательно, полусумме всех чисел. Но даже если выбрать 6 максимальных чисел, то их сумма

23+22+21+20+19+18=123<(4+5+...+23)/2=135.

Разумеется, что при меньшем количестве групп будет иметь место аналогичное неравенство. Методом исключения устанавливаем, что Вася не услышал цифру 7.

Пример разбиения: 27,20,7; 26,17,9; 25,13,12; 24,19,5; 23,15,8; 22,16,6; 21,11,10; 18,14,4.

         Примечание.     3 балла за отбрасывание цифр 1,5 и 9

                                      5 баллов за отбрасывание цифры 3.

Задача М4.