ВТОРОЙ ЗАОЧНЫЙ КОНКУРС УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
Математический блок
1. Существуют ли положительные числа Математический блок
такие, что 
?2. На шахматной доске ладья находится в левом нижнем углу и может двигаться только вправо и вверх. За 6 ходов она попала в правый верхний угол. Сколько существует решений этой задачи?
3. Многочлен f(x) с целыми коэффициентами имеет, по крайней мере, один целый корень. Какое максимальное число целых корней может иметь многочлен g(x)=f(x)+1?
4. На сторонах треугольника
внешним образом построены правильные треугольники 
. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников 
и совпадают!Аналитический блок
1. а) Найти число способов представления числа 21 в виде суммы нескольких слагаемых, любые два из которых либо совпадают, либо отличаются на 1. Порядок слагаемых не учитывается.б) Решить предыдущую задачу для числа 2010, и, если возможно, обобщить для произвольного .
2. Внутри треугольника
построены точки G и H, для которых соответственно среднее геометрическое и среднее гармоническое расстояний до сторон треугольника принимают максимальные значения. а) Найти
, если известно, что 
и 
, 
.б) описать все треугольники, для которых
параллельно одной из сторон треугольника.3. Является ли последовательность 1, 4, 7, 6, … последних цифр в десятичной записи чисел
, 
периодической?Криптографический блок
1. Есть устройство для автоматической проверки пароля. Паролем может быть любой непустой упорядоченный набор букв в алфавите {a,b,c}. Будем обозначать такие наборы большими латинскими буквами. Устройство переводит введенный в него набор P в набор 
. Отображение 
обладает следующими свойствами: Для любого набора букв P 1)
2)
3) набор
получается из набора 
выписыванием букв в обратном порядке. Устройство признает предъявленный пароль верным, если
. Например, трехбуквенный набор 
является верным паролем, так как 
. Подберите верный пароль, состоящий более чем из трех букв. 2. Для передачи сообщений по телеграфу каждая буква русского алфавита (буквы Е и Ё отождествлены) представляется в виде пятизначной комбинации из нулей и единиц, соответствующих двоичной записи номера данной буквы в алфавите (нумерация букв начинается с нуля). Например, буква А представляется в виде 00000, буква Б - 00001, буква Ч - 10111, буква Я - 11111. Передача пятизначной комбинации производится по кабелю, содержащему пять проводов. Каждый двоичный разряд передается по отдельному проводу. При приеме сообщения техник перепутал провода, поэтому вместо переданного слова получен набор букв ЭАВЩОЩИ. Найдите переданное слово.