Условия конкурса 2010

Математический блок

Решите задачи1-3

1. На плоскости изображены окружность и ее диаметр (центр окружности не изображен). Построить перпендикуляр к диаметру из произвольной точки плоскости, пользуясь только односторонней линейкой.

2. Пусть куб лежит по одну сторону относительно некоторой плоскости. Докажите, что набор из восьми чисел – расстояний от вершины куба до этой плоскости – можно разбить на две четверки и так, что выполняются равенства и . Исследовать вопрос относительно соотношения между числами и .

3. Исследовать последовательность на периодичность.

4. Можно ли подобрать числа так, чтобы выражение принимало при всех  x одно и то же значение С? Если да, то какие значения может принимать константа С?

Методический блок

Найдите в предложенных доказательствах математические или методические ошибки или покажите, что таковых нет.

Теорема. В любом треугольнике сумма внутренних углов равна .

Доказательство. Опишем около данного треугольника АВС окружность. Пусть О – ее центр. Рассмотрим центральные углы, опирающиеся на дуги АВ, ВС, СА. Очевидно, их сумма равна . Поскольку вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, а вписанные углы с вершинами А,В,С и есть внутренние углы треугольника, то теорема доказана.

http://revolution.allbest.ru/mathematics/0000012381.html

Аналитический блок