Вторник, 18.12.2018, 19:29:56
Приветствую Вас Гость | RSS

Запорожский областной заочный конкурс учителей математики

Форма входа
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Областная олимпиада 2011-2012

Управління освіти і науки Запорізької облдержадміністрації
Запорізький обласний інститут післядипломної педагогічної освіти
ІIІ етап 52 Всеукраїнської олімпіади з математики 2011-2012 р.

7 клас
1. У Маші в колекції 100 метеликів, серед яких є білі і червоні. Відомо, що хоча б один метелик червоний, а з будь-яких двох метеликів хоча б один білий. Скільки червоних метеликів у Маші?
2. Почнемо рахувати пальці на правій руці наступним чином: 1 – мізинець, 2 – безіменний, 3 – середній, 4 – вказівний, 5 – великий, 6 – знову вказівний, 7 – знову середній, 8 - безіменний, 9 – мізинець, 10 - безіменний і так далі. Який палець буде 2012 - м?
3. Яке число більше: А=1-2+3-4+5-...+2011-2012  або В=1+2-3+4-5+6-...-2011+2012? Відповідь обґрунтуйте.
4. Доведіть, що сума всіх чотиризначних чисел, в десятковому записі яких відсутні цифри 0 і 9, ділиться на 101.

8 клас
1. В нескінченій послідовності натуральних чисел кожне наступне число отримується додаванням до попереднього числа однієї з його ненульових цифр. Доведіть, що в цій послідовності знайдеться парне число.
2. Сім дівчат і сім хлопчиків вирішили розділитися на дві команди. Вони встали в круг і почали рахуватись (за годинниковою стрілкою). Кожний шостий виходив із круга і йшов в другу команду. Коли всі сім членів другої команди визначились, виявилось, що вона складається лише із хлопчиків. Як діти стояли в крузі спочатку і з кого почали рахувати – з хлопчика або з дівчини?
3. Із 24 відер однакового об’єму 5 повністю заповнені водою, 11 – заповнені наполовину і 8 – пустих. Як розділити їх між трьома людьми так, щоб кожному дісталось однакова кількість відер і однакова кількість води?
4. Знайдіть всі натуральні числа, десятковий запис яких закінчується двома нулями, і які мають рівно 12 дільників.
5. Яку найменшу кількість множників треба викреслити з добутку  , щоб отриманий добуток закінчувався цифрою 2?

9 клас
1. При якому найменшому натуральному значенні число   є повним квадратом?
2. Знайдіть всі пари   чисел такі, щоб кожне з рівнянь   і   мало два різні натуральні корені.
3. Доведіть, що опуклі чотирикутники, середини сторін яких співпадають, мають рівні площі.
4. По кругу бігають три спортсмени, кожний з постійною швидкістю. Один з них пробігає круг за 4 хвилини, другий - за 5, третій – за 6. Спочатку вони знаходились в одній точці. Скільки всього буде попарних зустрічей до того моменту, коли вони всі троє знову будуть в одній точці, якщо всі троє біжать в одному напрямку?
5. Знайдіть всі такі натуральні , при яких вираз   ділиться на 10.

10 клас
1. Яке число більше:  або  ?
2. Натуральне число   має рівно 4 різних натуральних дільники (включаючи 1 і  ). Натуральне число   має рівно 6 різних натуральних дільників (включаючи 1 і ). Чи може число   мати рівно 15 різних натуральних дільників (включаючи 1 і )?
3. Площа трикутника дорівнює . На його сторонах побудовані квадрати. Яке найменше значення може приймати сума площ цих квадратів?
4. На нескінченній шашковій дошці на двох сусідніх діагональних клітках стоять дві чорні шашки. Чи можна добавити на дошку кілька чорних шашок і одну білу шашку так, щоб біла шашка одним ходом побила всі чорні шашки (включаючи і дві дані спочатку)?
5. Графік функції   перетинає вісь абсцис в точках А і С, а вісь ординат в точці В. Відомо, що  A(1; 0). Знайдіть  , де O - початок координат.

11 клас

1. Розв’яжіть систему рівнянь:
 .
2. Доведіть, що для всіх дійсних x виконується нерівність .
3. Скільки існує натуральних чисел x, менших за 10000, для яких різниця  не ділиться на 7?
4. Знайдіть найменше значення виразу , якщо .
5. Чи існують два таких опуклих чотирикутника, що один розташований всередині іншого і при цьому сума діагоналей внутрішнього чотирикутника більша за суму діагоналей зовнішнього?

Поиск
Календарь
«  Декабрь 2018  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31